Filosofía en español
Se ha formado como resultado de aplicar, en el terreno de la lógica, los métodos formales de la matemática basados en el empleo de un lenguaje especial de símbolos y fórmulas. En la lógica matemática, el pensamiento lógico de contenido (procesos del juicio y de la demostración) se estudia representándolo por medio de sistemas lógicos formales o cálculos. Resulta, pues, que la lógica matemática, por su objeto es lógica, y por su método es matemática. La lógica matemática contiene generalizaciones de largo alcance, y el desarrollo de las ideas y métodos de la lógica formal tradicional constituye precisamente la etapa presente del desarrollo de la lógica formal. La lógica matemática contemporánea incluye en sí una serie de cálculos lógicos, constituye una teoría sobre dichos cálculos, acerca de sus premisas, propiedades y aplicaciones. Junto al estudio de la estructura formal de los cálculos lógicos (Sintaxis lógica), en la lógica matemática surge también la necesidad de examinar las relaciones entre los cálculos y las esferas de contenido que sirven para las interpretaciones y modelos de dichas relaciones. En esta cuestión se esboza la problemática de la semántica lógica. La sintaxis lógica y la semántica se incluyen en la metalógica, teoría sobre los recursos para describir las premisas y las propiedades de los cálculos lógicos. El descubrimiento del examen formal de la lógica pertenece a Aristóteles (siglo IV a. n. e.). (Silogística). En su forma primitiva algunos conceptos iniciales de la lógica matemática se encuentran ya en la teoría de la escuela estoica de Megara (siglo III a. n. e.). Pero, al parecer, fue Leibniz quien por primera vez, formuló la idea de cálculo lógico. De todos modos, la lógica matemática como disciplina independiente sólo se constituyó a mediados del siglo XIX gracias a los trabajos de George Boole. Con él se inicia el desarrollo de la denominada álgebra de la lógica. Ernst Schröder en sus Lecciones sobre el álgebra de la lógica (1890-95) resumió y sistematizó los resultados de dicho desarrollo. A fines del siglo XIX en el estudio de la lógica matemática se inicia una nueva dirección relacionada con las investigaciones de la matemática tendientes a fundamentar sus conceptos y sus procedimientos demostrativos. En las fuentes de la dirección aludida, se encuentran los trabajos de Gottlob Frege. Contribuyeron en gran manera a su desarrollo Bertrand Russell y Alfred Whitehead (“Principia Mathematica”, 1910-1913) y David Hilbert. En este período, se crean los sistemas lógicos fundamentales, ya clásicos: el cálculo proposicional y el cálculo de predicados. La presente etapa de la lógica matemática se caracteriza por las investigaciones que en ella se realizan sobre los diferentes tipos de cálculos lógicos, por el interés hacia los problemas de la semántica y, en general, de la metalógica, hacia las cuestiones de la aplicación especial, científica y técnica, de la lógica. Los problemas que plantea la fundamentación de la matemática hacen que paralelamente a los trabajos que se llevan a cabo en la esfera de la lógica clásica se elabore la lógica constructiva. Al análisis de los fundamentos de la lógica están unidas las investigaciones concernientes a la lógica combinatoria. Se crea la teoría de la lógica polivalente. Los intentos de resolver el problema de cómo formalizar las investigaciones lógicas elevan a la creación de cálculos de una implicación rigurosa y fuerte. Se están sentando las bases de la lógica modal. Por otra parte, la lógica matemática ejerce una gran influencia sobre la propia matemática moderna, algunos de cuyos aspectos esenciales han surgido de ella; así ha ocurrido, por ejemplo, con las teorías de los algoritmos y de las funciones recursivas. La lógica matemática halla aplicación en electrónica (investigación de los relés de contacto y de los esquemas electrónicos), en técnica calculatoria (programación), en cibernética (teoría de los dispositivos automáticos), en neurofisiología (modelación de redes neuronales), y en lingüística (lingüística estructural y semiótica). La vieja lógica formal no conocía esa estrecha concatenación de la problemática lógica con la resolución de los problemas científicos especiales, ni la utilización de la lógica como instrumento de las investigaciones científicas concretas.
Diccionario filosófico · 1965:280-281
Esfera del saber, que se formó en virtud del empleo en la lógica de los métodos formales de las matemáticas y de la investigación lógica de los razonamientos y demostraciones matemáticos. La lógica matemática estudia los procesos lógicos reflejándolos en lenguajes formalizados o cálculos lógicos. Además del estudio de la estructura formal de los cálculos lógicos (Sintaxis lógica), la lógica matemática se plantea también la tarea de examinar aquellas relaciones entre los cálculos y las esferas substanciales que constituyen sus interpretaciones y modelos. Esta tarea esboza la problemática de la semántica lógica. La sintaxis y la semántica lógicas son incluidas en la metalógica: teoría de los medios de descripción y de las premisas y propiedades de los cálculos lógicos. Por primera vez la idea del cálculo lógico la formuló, por lo visto, Leibniz. Sin embargo, como disciplina independiente, la lógica matemática cobró forma a mediados del siglo 19 gracias a los trabajos de Boole. Con él comienza el desarrollo de la denominada álgebra de la lógica. Otra tendencia en la elaboración de la lógica matemática, que pasó a ser determinante, empieza desde fines del siglo 19 en virtud de las necesidades de las matemáticas en cuanto a la fundamentación de sus conceptos y modos de demostración. En las fuentes de esta tendencia están los trabajos de Frege. Hicieron un notable aporte a su desarrollo Russel y Whitehead (Principia Mathematica, 1910-13), así como Hilbert. En aquel período se crean los sistemas lógicos fundamentales de la lógica matemática: cálculo de los enunciados y cálculo de los predicados (ambos cálculos son clásicos). En los años 30, Goedel, Tarski, A. Church obtuvieron importantes resultados, los cuales determinan el estado actual de la lógica matemática. La presente etapa de la lógica matemática se caracteriza por la investigación de las diversas variedades de los cálculos lógicos, el interés por los problemas de la semántica y, en general, de la metalógica, así como de las aplicaciones especiales matemáticas y técnicas de la lógica. La lógica matemática ejerce gran influencia sobre las matemáticas modernas y halla aplicación en la técnica de cómputo (programación), en la cibernética (teoría de los autómatas), la neurofisiología y la lingüística (lingüística estructural y semiótica).
Diccionario de filosofía · 1984:259