Revista Cubana de Filosofía
La Habana, enero-diciembre de 1950
Vol. 1, número 6
páginas 25-30

Mario O. González

La crisis actual
de los fundamentos de la Matemática

Introducción

La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo por numerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más refinados instrumentos de investigación.

Estas crisis a que aludimos han seguido invariablemente, como inevitable secuela, a las innovaciones más radicales experimentadas por la Matemática en el curso de su historia. Una de las más importantes, merecedora de ser siquiera mencionada aquí, fue la gran crisis epistemológica que siguió a la creación de la Geometría analítica por Renato Descartes, hacia 1637, y del Cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del siglo XVII) y que prolongándose durante todo el siglo XVIII, sólo vino a ser superada en el pasado siglo por obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros, al lograr estos matemáticos establecer, por primera vez, con claridad y precisión, los conceptos de número real, de límite, de infinitesimal, de continuidad, de convergencia... Los matemáticos del siglo XVIII, ocupados en desarrollar las consecuencias del nuevo cálculo y sus múltiples e importantes aplicaciones a la Geometría, a la Mecánica, a la Física y a la Astronomía, casi no se preocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafísica invadió sus concepciones básicas. Para algunos matemáticos de aquella época «una cantidad que es aumentada o disminuida en un infinitesimal no es aumentada ni disminuida», en tanto que para otros «lo infinitesimal es el espíritu de una cantidad que se desvanece». Puede decirse que aplicaban el cálculo diferencial e integral sin tener una idea precisa de sus conceptos fundamentales y sin percatarse de sus limitaciones y su alcance. En consecuencia, sólo hombres de un fino espíritu matemático, como Euler, se libraron de cometer errores groseros. De este estado metafísico pasó el Cálculo al estado científico en el siglo XIX, al introducirse en sus fundamentos el rigor, alcanzándose su estructuración dentro de las tradicionales normas helénicas de perfección lógica.

En el período 1874-1895, G. Cantor provocó una nueva revolución en la ciencia matemática al crear su teoría de los conjuntos (Mengenlehre). Después de los trabajos de Cantor la teoría de los conjuntos ha venido a desempeñar el papel de disciplina matemática fundamental, sobre la cual se construye la Aritmética, el Análisis, la Geometría, la Topología. Pero esta radical innovación ha producido una nueva y profunda crisis filosófica en medio de la cual se debate aún nuestra ciencia, sin que sea posible predecir con certeza en qué dirección se logrará vencer las dificultades a que ha conducido el riguroso análisis que se ha hecho en los últimos tiempos de las bases lógicas y epistemológicas de la Matemática.

El logicismo

Frege fue el primero en sostener que la Matemática es simplemente una parte de la Lógica y, por tanto, es susceptible de edificarse con procedimientos lógicos puros. Entre 1879 y 1903 Frege dedica tesoneros esfuerzos a sentar la Matemática sobre bases lógicas exclusivamente, los resultados de los cuales expone en su obra fundamental Grundgesetze der Arithmetik (2 vol. 1893-1903). En esta obra Frege hace frecuente uso de la noción de conjunto de todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propósitos, como el propio autor tiene la valentía de reconocer al final del segundo tomo, cuando dice: «Un científico no puede encontrar nada menos deseable que hallar que todo el fundamento de su obra cae precisamente en el momento que le da fin. He sido puesto en esta posición por una carta de Mr. Bertrand Russell cuando este trabajo se hallaba casi terminado en la imprenta».

En esta carta Russell comunicaba a Frege su famosa antinomia sobre el conjunto C de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismo como elemento. La contradicción surge al considerar que si C se contiene a sí mismo resulta, en virtud de la definición, que C no es elemento de C, es decir, no se contiene a sí mismo; y si, por el contrario, no se contiene a sí mismo, de la definición resulta también que entonces C es elemento de C.

De un carácter más matemático son las antinomias de Burali-Forti, de Richard y de Zermelo. Estas antinomias ponen en peligro los trabajos de Cantor sobre el infinito actual y las aspiraciones de los que pretenden reducir la Matemática a las reglas de la Lógica. Varias soluciones se propusieron para eludir las antinomias. Russell, erigido en campeón del logicismo a partir de 1903, insiste en que la Lógica es más fundamental y debe anteceder a la Matemática.{1} En su importante obra Principia Mathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que la Matemática es reducible a un pequeño número de conceptos y de principios lógicos fundamentales. Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso, que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad de un conjunto no debe formar parte del conjunto», [26] el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos conceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto (cuya definición exige la consideración de todos los elementos del conjunto). Para atenuar el alcance del principio del círculo vicioso, Russell introduce el llamado principio de reducibilidad, que ha sido muy combatido por su carácter artificial.

Los logicistas, en su afán de aislar los elementos lógicos del razonamiento, crearon la pasigrafía, llamada también logística o lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial se traduce el discurso en fórmulas análogas a las matemáticas, las cuales ponen de relieve las estructuras lógicas. Los símbolos más importantes, de frecuente uso hoy día aún en libros no especializados de lógica matemática, son los siguientes:

Revista Cubana de Filosofía, número 6, página 26, 1950

traducida al lenguaje vulgar significa: dadas dos clases A y B existe una clase C tal que para todo μ el afirmar que μ pertenece a C equivale a afirmar que μ pertenece a A y que μ pertenece a B (esta clase C es la intersección o producto lógico de las clases A y B).

La logística comprende: el cálculo de proposiciones, el cálculo de funciones proposicionales, el cálculo de clases y el cálculo de relaciones.

Para Russell una proposición es una expresión que es falsa o que es verdadera. Los símbolos que representan proposiciones pueden pues, tomar dos valores de verdad (truth values): lo verdadero (V) y lo falso (F).{2}

Una expresión que contenga una variable x y que se convierta en una proposición cuando a x se atribuya un determinado significado se llama función proposicional. Es precisamente en el cálculo de funciones proposicionales en donde Russell introduce su discutido axioma de reducibilidad. Habiendo separado las funciones proposicionales en tipos de acuerdo con los valores permisibles de x, se postula ahora que cada función proposicional en cualquiera de los tipos mencionados es equivalente a alguna función proposicional de un tipo inferior.{3} El mejor argumento en favor del axioma de reducibilidad es el haberse logrado evitar con él las antinomias.

Russell considera el concepto de clase como derivado del de función proposicional, llamando clase al dominio de una función proposicional. En esto procede a la inversa de Boole, Peano y otros, los cuales tomaban el concepto de clase como idea primitiva y hacían preceder el cálculo de clases al cálculo de proposiciones.

El mismo Rusell advirtiendo en la amplitud excesiva del concepto de clase el origen de las antinomias, ha propuesto diversas teorías para delimitarlo (zig-zag theory; theory of limitation of size), llegando en un sacrificio máximo a formular su no classes theory en la cual abandona ya este concento, sustituyéndolo por circunloquios diversos. «Figuraos cuál será el aspecto de una página de logística –decía Poincaré– cuando se hayan suprimido en ella todas las proposiciones en que se trate de clases: sólo sobrevivirán algunas esparcidas en medio de una página blanca. Apparent rari nantes in gurgite vasto».

Uno de los mayores méritos de la obra de Russell es haber dado forma definitiva al cálculo de relaciones, que había sido desarrollado en gran parte por el norteamericano Peirce y por el alemán Schrider en su extensa obra Vorlesungen über die Algebra der Logik (4 vol. 1890-91-95 y 1905). El cálculo de relaciones desempeña un destacado papel en el álgebra moderna y en otras ramas abstractas de la matemática actual en donde interesa principalmente el estudio de las relaciones y no la naturaleza de los entes relacionados. [27]

El formalismo

Hilbert repudia el logicismo{4} afirmando que la Matemática no puede fundamentarse únicamente con los recursos de la Lógica. Hilbert propone un sistema en que la Matemática no aparece como posterior a la Lógica sino consideradas simultáneamente.

En su Beweistheorie Hilbert no se propone demostrar que la Matemática sea verdadera, sino consistente. De haber triunfado el programa de Hilbert la Matemática y la Lógica habrían quedado como disciplinas autónomas, independientes de la Filosofía. Este ideal parece hoy inasequible, debido a los trabajos recientes de K. Gödel acerca de los cuales trataremos más adelante.

El método de Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos:

1) Axiomatización. Las propiedades primeras no se demuestran sino se postulan y este sistema de axiomas o postulados proporciona al mismo tiempo una definición indirecta de los conceptos primarios que intervienen en ellos. Los axiomas tienen un carácter puramente arbitrario o convencional (como las reglas del ajedrez), estando sujetos únicamente a una condición esencial: su consistencia o compatibilidad (es decir, no deben ser contradictorios).

2) Formulación. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simbólico, con objeto de desarrollar la teoría con los métodos de la lógica matemática, métodos que permiten asegurar que en estas deducciones no se apela a recursos extraños al sistema.

3) Demostración de la compatibilidad de los axiomas. Esta es la cuestión fundamental en el formalismo, la cual permite decidir si el sistema construido es legítimo o si carece de sentido. Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemática o doctrina destinada a establecer la compatibilidad de la Matemática mediante un limitado número de proposiciones. Evidentemente sería ilegítimo intentar establecer la compatibilidad haciendo uso de toda la Lógica y toda la Matemática, pues se estaría entonces dando por probada la compatibilidad que se trata de demostrar.

El texto oficial para el estudio del formalismo es la gran obra de Hilbert y Bernays Grundlagen der Mathematik (1934 y 1939). Cuando esta obra se publicó, un joven vienés (Gödel) había dado a conocer poco antes lo que ha sido calificado como el resultado más decisivo de la lógica matemática moderna. Gödel demuestra por un procedimiento de carácter constructivo (es decir, no meramente existencial), que en ciertos sistemas (más concretamente, en el cálculo restringido de las funciones proposicionales) hay aserciones que no pueden ser demostradas o impugnadas. Utilizando un procedimiento original Gödel construye un teorema verdadero y tal que una demostración formal del mismo conduce a contradicción. El procedimiento de Gödel consiste en sustituir los símbolos del cálculo de proposiciones por los símbolos de los números enteros, resultando así un algoritmo numérico que aplicado a los teoremas de la Aritmética conduce a un círculo vicioso.

Gödel ha obtenido resultados aun más generales de los cuales resulta la imposibilidad de demostrar la consistencia en ninguna teoría formal que comprenda la de los números naturales mediante un procedimiento cualquiera susceptible de ser expresado en términos de dicha teoría.

La conclusión de Gödel, que ha valido a éste una cita obligada en todos los escritos recientes sobre lógica matemática, invalida el propósito principal de la obra de Hilbert-Bernays, de tal modo que la compatibilidad de la Aritmética está todavía por demostrarse. Como dice H. Weyl (The American Mathematical Monthly, enero 1946): «It is likely that all mathematicians ultimately would have accepted Hilbert’s approach had he been able to carry it out successfully. The first steps were inspiring and promising. But then Gödel dealt it a terrific blow (1931), from which it has not yet recovered». «Like everybody and everything in the world today, we have our crisis». Y el mismo autor en un artículo necrológico sobre Hilbert{5} afirma: «Whatever the future may bring, there is no doubt that Brouwer and Hilbert raised the problem of the foundation of mathematics to a new level. A return to the standpoint of Russell-Whitehead’s Principia Mathematica is unthinkable».

El intuicionismo

Las aspiraciones de los logicistas y formalistas han sido vigorosamente combatidas por Poincaré, Borel, Lebesgue, Klein, Enriques y otros distinguidos matemáticos de la escuela intuicionista. Aunque en general la filosofía kantiana no tiene más que interés histórico en la matemática actual, debe, sin embargo, hacerse remontar a Kant el origen de la tendencia intuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de los fundamentos de la Matemática. Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existen ciertas nociones y proposiciones provenientes de la intuición (intelectual), e irreductibles a la Lógica. Tales son la intuición de la iteración o aptitud de nuestra mente para concebir la repetición indefinida de los actos del pensamiento, y el llamado principio de inducción completa, considerado por Poincaré como un juicio sintético a priori, de carácter matemático, no demostrable experimentalmente ni por procedimientos lógicos. [28]

Refiriéndose al principio de inducción completa dice Poincaré (La Science et l’Hypothese, cap. I): «On ne saurait méconnaitre qu’il y a la une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance a un ordre général de l’Univers ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-a-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n‘est que 1’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-meme». Y en otro lugar: «Cette regle, inaccesible a la demonstration analytique et a l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori».{6}

Para los intuicionistas la Matemática es una libre creación del hombre, el cual no descubre sino crea la Matemática. La Lógica sola es estéril y la Matemática no sería otra cosa que una inmensa tautología si no la fecundase la intuición. No se desestima el papel de la Lógica como legitimadora del razonamiento matemático pero es impotente ella sola para establecer la compatibilidad de los axiomas fundamentales y para llegar a las generalizaciones y abstracciones que caracterizan a la Matemática actual.

Como dice Borel, «les mathématiques ne sont pas seulement une collection de deductions logiques, pas plus que l’arithmetique n’est une collection de calculs numeriques exacts».

Y R. Courant en su obra What is Mathematics? escribe: «In some way or other, openly or hidden, even under the most uncompromising formalistic, logical or postulational aspect, constructive intuition always remains the vital element in mathematics».

El neointuicionismo

El precursor del neointuicionismo fue Kronecker, célebre matemático alemán de mediados del siglo XIX. Pero el Fürher de la escuela neointuicionista es Brouwer (holandés, 1882), uno de los fundadores de la Topología moderna. Entre sus más distinguidos colaboradores y continuadores figuran Weyl, Heyting, Glivenko, Wavre y Levi. Y el adversario más esforzado y pertinaz de esta tendencia ha sido Hilbert.

Kronecker, en sus polémicas con Weierstrass y Cantor, había insistido sobre la necesidad de dar demostraciones constructivas que proporcionasen en un número finito de operaciones humanamente realizables el ente matemático cuya existencia se deseaba establecer. Para Kronecker carecían en absoluto de valor apodíctico las demostraciones por reducción al absurdo, en las cuales no se prueba la existencia de un objeto sino la no existencia de su contradictorio. Al negar validez a las teorías del número irracional (según las ideas de Dedekind, Weierstrass y Cantor) e insistir en que toda la Matemática se edificase a partir de los números naturales mediante un número finito de operaciones, Kronecker echó los cimientos de una filosofía de la Matemática verdaderamente revolucionaria cuyas consecuencias más importantes no fueron aceptadas hasta que las antinomias cantorianas comenzaron a poner de manifiesto su plausibilidad.

Brouwer desarrolla el punto de vista kroneckeriano en su tesis doctoral (Over de grondslagen der wiskunde, 1907), en un corto trabajo sobre la incertidumbre de los principios lógicos (1908), y en otro, muy breve también, del año 1912, sobre intuicionismo y formalismo. En estos trabajos llega, como en seguida veremos, a una posición filosófica mucho más radical que la de Kronecker.

Brouwer coincide con este último acerca del significado que debe atribuirse a la palabra existencia en Matemática. Para la mayoría de los matemáticos existente significa exento de contradicción. Para Brouwer, como para Kronecker, un ente matemático existe sólo cuando es posible dar un procedimiento que permita construirlo en un número finito de operaciones. Y una proposición general sobre un conjunto infinito noes válida a menos que se ofrezca un método para demostrarla en un número finito de pasos. Pero lo que ofrece más novedad en la posición filosófica de Brouwer es su ataque a la Lógica clásica al negar validez universal al principio del tercero excluido (tertium non datur). Según Brouwer, la historia muestra que la Lógica clásica es un subproducto de la matemática elemental aplicada a los conjuntos finitos y el olvido de este limitado origen ha hecho considerar equivocadamente a la Lógica como algo anterior o superior a la Matemática, lo que ha llevado a aplicarla, haciendo una extrapolación ilegítima, a la matemática de los conjuntos infinitos. Como dice Weyl, ésta es la caída y el pecado original de la teoría de los conjuntos, por el cual recibe el justo castigo de las antinomias. Lo sorprendente –continúa Weyl, no es que tales contradicciones se hayan presentado sino que hayan surgido en un estado tan avanzado de la ciencia. Para los neointuicionistas la Matemática precede a la Lógica y no ésta a aquélla. [29]

El abandono del principio del tercero excluido{7} implica una reestructuración de la Lógica clásica que ha sido realizada por Heyting y Glivenko principalmente. He aquí un resumen de los fundamentos de la lógica nueva (o lógica brouweriana, o neointuicionista, o empirista), según ha sido expuesta por R. Wavre.{8}

En primer lugar recordemos que la lógica clásica es la lógica de lo verdadero y lo falso; en ella se impone la alternativa entre lo verdadero y lo que no lo es, o dicho de otro modo, una proposición es siempre verdadera o falsa. La lógica brouweriana es la lógica de lo verdadero y lo absurdo, sin que se imponga una alternativa entre una y otra cosa. En la nueva lógica lo verdadero es lo efectivamente demostrable y lo absurdo es lo efectivamente reducible a una contradicción. Lo absurdo implica lo falso pero lo falso no implica necesariamente lo absurdo. De ahí que la ausencia de contradicción en una teoría no implique su verdad pues, como dice Brouwer utilizando un símil, la imposibilidad de demostrar la culpabilidad de un acusado no prueba su inocencia.

Si A y B son dos proposiciones, la notación

A → B

se lee: A implica B, y significa: si A es verdadera, B es verdadera. Se dice que dos proposiciones son equivalente (A ≡ B) cuando se implican mutuamente.

A continuación enumeramos los principios fundamentales de la lógica brouweriana{9}:

1. Principio del silogismo. Si A → B y B → C, entonces A → C.

2. Principio de la deducción. Si A es verdadera y A → B, se puede afirmar que B es verdadera aisladamente.

3. Principio de contradicción. Una proposición no puede ser verdadera y absurda. (El enunciado clásico es: una proposición no puede ser verdadera y falsa).

4. Principio de implicación de lo absurdo. Lo que implica lo absurdo es absurdo. (El enunciado clásico es: lo que implica lo falso es falso).

5. Principio del predicado de la absurdidad. La verdad de una proposición implica la absurdidad de la absurdidad de esta proposición. (El enunciado clásico es: la falsedad de la falsedad de una proposición implica la verdad de esta proposición).

En la lógica brouweriana no son aceptados los principios siguientes:

1’. Una proposición es verdadera o absurda{10}.

2’. La absurdidad de la absurdidad de una proposición implica la verdad de esta proposición.

3’. Una proposición es absurda, o bien, es absurdo que ella sea absurda.

Representando por A’ la verdad de una proposición, por à su falsedad y por A* su absurdidad, el quinto principio de los enunciados más arriba puede expresarse así:

En lógica brouweriana: A’ → A** (α)

En lógica clásica: Ã → A’ (β)

El principio no aceptado de 2’ se expresa así A** → A’

El cuarto principio de lógica brouweriana se puede interpretar en la siguiente forma:

(A → B) → (B* → A**) (γ)

es decir, si A implica B, entonces la absurdidad de B implica la absurdidad de A.

Como A’ → A** según (α), en virtud de (γ) resulta:

(A’ → A**) → (A*** → A*)

y como la implicación A*** → A* se puede considerar aisladamente (2º principio) y además A* → A***, se obtiene la siguiente conclusión interesante: en la lógica brouweriana la absurdidad tercera equivale a la absurdidad primera.

La validez de una porción considerable de la Matemática vigente depende de la aceptación o no aceptación del principio del tercero excluido. Rechazarlo como quieren los neointuicionistas, implica una mutilación tan considerable de nuestra ciencia, que la mayor parte de los matemáticos vacilan y, en su mayoría, no se deciden a emprender la reestructuración que demanda el neointuicionismo;{11} esta reestructuración, por otra parte, sólo podrá salvar una parte muy pequeña del acervo matemático tradicional. Además, la Matemática tal como hoy existe, con sus diversas ramas (el cálculo infinitesimal, la teoría de las ecuaciones, la teoría de funciones, la geometría diferencial, la topología), ha sido un instrumento tan potente y de resultados tan fecundos en la Astronomía, en la Física, en todas las ramas de la técnica, [30] a través de la prolongada lucha del hombre por la conquista de las leyes y de las fuerzas naturales (cuyo producto final es la maravillosa y compleja civilización presente), que la validez de la Matemática clásica resulta asegurada como una cuestión de hecho, en razón de su utilidad y de sus consecuencias prácticas.{12}

Hilbert ha defendido en varias ocasiones el punto de vista tradicional combatiendo vigorosamente al neointuicionismo. «El programa de Brouwer –dice Hilbert– no es una revolución sino solamente una repetición con viejos métodos de un golpe de mano inútil que, aun cuando ha sido emprendido con mayor fuerza, ha fallado sin embargo completamente. Hoy el Estado está bien armando gracias a los trabajos de Frege, Dedekind y Cantor. Los esfuerzos de Brouwer y Weyl están destinados a ser inútiles». «El efecto (del neointuicionismo) es desmembrar nuestra ciencia y se corre el riesgo de perder una gran parte de nuestras más valiosas adquisiciones. Weyl y Brouwer condenan las nociones generales de número irracional, de funciones –aún aquéllas que aparecen en la teoría de los números–, los números transfinitos de Cantor, &c., el teorema (básico en Análisis) de que un conjunto infinito de enteros positivos tiene un mínimo, y aún la ley del tercero excluido, como por ejemplo, la afirmación: o hay sólo un número finito de números primos o hay una infinidad. Estos son ejemplos de teoremas y modos de razonar prohibidos. Yo creo que así como Kronecker fue impotente para abolir los números irracionales no menos impotentes serán hoy los esfuerzos de Weyl y Brouwer».

En otra parte afirma Hilbert: «Prohibir a un matemático hacer uso del principio del tercero excluido es como prohibir a un astrónomo emplear su telescopio o a un boxeador usar sus puños».

Hilbert estaba firmemente convencido de que la certeza completa podría alcanzarse en Matemática «sin hacer traición a nuestra ciencia». Producto de esta convicción son sus trabajos sobre los fundamentos de la Matemática los cuales dan origen al formalismo. Todos los matemáticos –como decía Weyl– hubiesen acabado por ser formalistas si el formalismo hubiese triunfado. Infortunadamente no ha sido así, y esto deja sumida a la Matemática en la crisis más profunda y significativa de su historia. Cómo se resolverá esta crisis y qué dominios conservará la Matemática al salir de ella es algo que hoy no puede anticiparse. Mas si la historia se repite, no hay duda que emergerá robustecida y vivificada, más digna quizás del calificativo que otrora mereció la ciencia exacta.

Conclusiones

De grado o por fuerza, consciente o inconscientemente, la mayor parte de los cultivadores de la Matemática han caído hoy en el bando intuicionista. Esencialmente frustrados el logicismo y el formalismo y demasiado demoledor el neointuicionismo, no queda por el momento otra posición más satisfactoria que el intuicionismo. Este requiere, sin embargo, ulteriores desarrollos que lo perfilen y den mayor precisión y solidez a sus afirmaciones fundamentales. Para ello habrá que acudir a los últimos datos de la Psicología, y como estos lucen por el momento insuficientes, será preciso dar un impulso considerable a esta ciencia, todavía joven. En la primera mitad del siglo XX la Lógica ha alcanzado un desarrollo extraordinario por obra de los matemáticos y es muy probable que en la segunda mitad del siglo éstos aporten también una contribución substancial el estudio de los fenómenos psíquicos.

La Lógica por otra parte, se halla aún en estado de evolución y en cierto sentido, de renovación. Hoy hay tendencia a mirar los principios lógicos como reglas derivadas de la experiencia, sin carácter apriorístico. Muchos matemáticos, físicos y filósofos modernos (Dewey, especialmente) conceden a los principios lógicos un valor provisional, considerándolos valederos solamente en tanto no estén en contradicción con experiencias más refinadas. La no existencia de principios distintos de los conocidos hasta hoy no está demostrada, y la historia enseña que algunos principios matemáticos, como el de inducción completa, no fueron descubiertos desde el primer momento, sino hallados y utilizados en una etapa bastante avanzada del progreso científico.

El haber aplicado la lógica de los conjuntos finitos a los infinitos equivale a una experimentación y el hecho de haber encontrado contradicciones indica que hay que buscar nuevos principios aplicables a la matemática del infinito más bien que mutilar a ésta reduciéndola a lo finito. Quizás sea esto lo que quiso expresar Hilbert en 1926 cuando dijo que el significado del infinito en Matemática no estaba aún completamente claro.

Mario O. González

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{1} En uno de sus escritos (Introducción a la Filosofía Matemática, cap. XVIII), dice Russell: «la Lógica es la juventud de la Matemática y la Matemática la virilidad de la Lógica».

{2} Lukasiewicz (1921), ha considerado un sistema logístico con tres valores. Posteriormente se han estudiado las lógicas polivalentes. La teoría del cálculo de probabilidades ha llevado a Reichenbach a introducir una lógica con una infinidad continua de valores. El mismo autor ha publicado recientemente (1944) un trabajo sobre la aplicación de la lógica trivalente a la teoría cuántica.

{3} Los autores de Principia Mathematica precisan su teoría de los tipos en la forma siguiente:

  1. Una función de primer orden es aquella que no envuelve variables (aparentes o no) sino individuos.
  2. Una función de orden n+1 es aquella que contiene una variable de orden n y no contiene individuos o funciones de orden menor o igual que n.
  3. Una función predicativa es aquella que no contiene variables aparentes.
  4. Cualquier función con uno o dos argumentos es formalmente equivalente a una función predicativa de los mismos argumentos.

El axioma de reducibilidad ha sido abandonado posteriormente por Russell y Whitehead. El sistema lógico de los Principios ha sufrido modificaciones varias en los últimos años, sin que se haya logrado establecer su consistencia, la cual muchos consideran improbable. Véase Church: The present situation in the foundation of mathematics.

{4} Como veremos más adelante Hilbert ha combatido también denodadamente el neo-intuicionismo.

{5} «David Hilbert and his mathematical work» (Bulletin of the American Mathematical Society, sept. 1944).

{6} El principio de inducción matemática puede enunciarse así (M. González, Complementos de Aritmética y Algebra, p. 27): «Si el primer elemento de un conjunto ordenado X, finito o simplemente infinito (como el de los números naturales 1, 2, 3, 4...), tiene una determinada propiedad y si de la hipótesis de que un elemento cualquiera la admite se deduce que también la admite el siguiente, entonces tienen dicha propiedad todos los elementos de X».

En nuestra obra demostramos el principio de inducción por reducción al absurdo. Tal demostración es posible postulando previamente algunas proposiciones más sencillas pero que en conjunto equivalen al susodicho principio.

{7} En la lógica neointuicionista el principio del tercero excluido sólo es legítimo aplicarlo a los conjunto finitos y bien determinados.

{8} En su artículo «Logique formelle et logique empiriste» (Revue de Métaphysique et de Morale, enero 1926). Reproducido en Borel: Lecons sur la théorie des foctions (París, 1928), pp. 257-265.

{9} Como se observará, algunos de estos principios coinciden con los de la lógica clásica. Nótese también que el principio del tercero excluido, a saber: una proposición es verdadera o falsa, no figura en la relación que sigue.

Debe advertirse que los neointuicionistas no desechan el principio del tercero excluido por falso, sino que se limitan a considerarlo como base insegura para servir de fundamento a la Matemática. Véase Heyting: Les fondements des mathématiques du point de vue intuitionniste.

{10} Según los neointuicionistas puede haber, pues, proposiciones ni verdaderas ni absurdas, es decir, no demostrables ni reducibles a contradicción. En esta categoría pueden estar incluidos algunos «teoremas» cuyas demostraciones no ha sido posible lograr, habiendo resistido los esfuerzos de los más eminentes matemáticos, como por ejemplo el llamado «gran teorema de Fermat».

{11} Únicamente Weyl en Das Kontinuum (1918) y algunos pocos prosélitos del neointuicionismo han intentado llevarla a efecto.

{12} Alguien ha afirmado que el rigor extremado puede considerarse en Matemática sinónimo de rigor mortis. Muchos grandes matemáticos, que extendieron considerablemente los dominios de nuestra ciencia (Euler, Fourier, Riemann...) trabajaron muchas veces guiados sólo por un fino instinto de lo que es matemáticamente correcto, dejando a otras mentes más mediocres el trabajo de situar dentro de un marco de perfección lógica al nuevo hecho matemático.

Durante la última guerra mundial fueron alcanzados notabilísimos resultados en matemáticas aplicadas gracias al empleo de ciertos procedimientos semi-empíricos que suponen un abandono de la práctica corriente de estricto apego a los principios lógicos.

Algunos neointuicionistas se niegan a formalizar su sistema en forma axiomática. Para ellos la Matemática consiste en una actividad intelectual espontánea, considerando que la expresión oral o escrita, aunque indispensable para la comunicación, no es jamás adecuada y que un sistema cualquiera de axiomas es incapaz de agotar las fuerzas creadoras del espíritu matemático.

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